线性插值法

假设我们已知坐标(x0,y0)与(x1,y1),要得到[x0,x1]区间内某一位置x在直线上的值。根据图中所示，我们得到两点式直线方程：

假设方程两边的值为α，那么这个值就是插值系数—从x0到x的距离与从x0到x1距离的比值。由于x值已知，所以可以从公式得到α的值

同样　

这样，在代数上就可以表示成为：y = (1 − α)y0 + αy1或者，y = y0 + α(y1 − y0)

这样通过α就可以直接得到 y。实际上，即使x不在x0到x1之间并且α也不是介于0到1之间，这个公式也是成立的。在这种情况下，这种方法叫作线性外插—参见 外插值。

已知y求x的过程与以上过程相同，只是x与y要进行交换。

线性插值近似法

线性插值经常用于已知函数f在两点的值要近似获得其它点数值的方法，这种近似方法的误线定义为

RT = f(x) − ρ(x)

其中ρ表示上面定义的线性插值多项式

根据

线性插值法是认为现象的变化发展是线性的、均匀的，所以可利用两点式的直线方程式进行线性插值。

两点式的直线方程式为：

式中　　X0,Y0,X1,Y1——已知的统计数据;

X——X0,X1之间的任何数据;

Y——与X对应的插值数据。

例 某地区居民货币收入和消费支出情况如表1所示。试推算该地区居民收入为19.5亿元时，其相应的消费支出是多少?

表1 居民货币收入和消费支出资料(单位：亿元)

解：　　

= 16.9

所以，当该地区居民收入是19.5亿元时，其消费支出是16.9亿元。

由于线性插值法只利用两点的对应值宋推算两点之间的对应值，而两点对应值本身往往受到各种偶然因素的影响，所以线性插值结果可能误差较大。